weierstraßsche Sätze

weierstraßsche Sätze

 

[nach K. T. W. Weierstrass], bedeutende Sätze der reellen und komplexen Analysis; zu ihnen gehören: 1) weierstraßscher Approximationssatz: Zu jeder stetigen Funktion f auf [a, b] und jedem ε > 0 existiert eine Polynomfunktion P (x) auf [a, b], sodass

 

d. h., die Polynomfunktionen auf [a, b] liegen dicht im Banach-Raum C ([a, b]). 2) Häufungsstellenprinzip von Bolzano-Weierstraß (Bolzano-Weierstraß-Satz); 3) weierstraßsches Majorantenkriterium: Die Funktionenreihe

 

konvergiert in einem Intervall D gleichmäßig, falls eine konvergente Reihe

 

mit positiven Gliedern existiert, sodass |f_i (x)| ≦ a_i für alle i ≧ n und alle x ∈ D gilt. 4) Satz von Weierstraß: Ist die Funktion f (z) in der punktierten Kreisscheibe 0 < |z| < ρ holomorph und der Nullpunkt eine isolierte wesentliche Singularität von f, dann liegt das Bild jeder punktierten Kreisscheibe 0 < |z| < ε > 0 unter dieser Abbildung dicht in der Ebene. 5) Produktsatz von Weierstraß: Zu beliebig vorgegebenen, sich im Endlichen nicht häufenden komplexen Nullstellen existiert eine in C holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen und den entsprechenden Vielfachheiten.